Pensamiento Variacional: Funcion cuadratica.

Una función cuadrática es aquella que se puede escribir como f(x) = ax2 + bx + c, Forma General ,Forma Estandar: y= a(x-h)2+k

a, b, son números enteros , a no puede ser cero , b y c si pueden ser cero.

Se dice que es una ecuación completa cuando tiene un término cuadrático (ax2),un término lineal(bx) y un término independiente (c).

Forma General: y =ax2+bx+c.

Representación Grafica de una función cuadrática:

La parábola es la representación grafica de una función cuadrática.

Esta tiene ciertas características o elementos que pueden ser identificados en la gráfica como: las raíces, puntos de corte, eje de simetría , orientación, ramas de la parábola y el vértice.

La orientación: es  la que define si la parábola abre hacia arriba (parábola  cóncava: a es mayor a 0) o si abre hacia abajo (parábola convexa, a es menor que cero), el signo es definido por el termino cuadrático (ax2).

            Convexa(negativo), cóncava(positivo).

Puntos de corte (eje x):para calcular las raíces se necesita que el valor de x sea cero (f(x)= 0), esto significa que los valores x tales a los valore de y=0.

Vértice: Determina el punto máximo o mínimo dependiendo de la parábola. Esta se representa por medio de las coordenadas (h,k).

Ejemplo: y = x² - 4x + 5.

Para encontrar h se necesita la ecuacion de :

 h=-b/2a

 h=4/2

 h=2, x=2

:Y para encontrar k se reemplaza x en  la fórmula

 ejemplo: y= x2-4x+5,

  k= (2)2-4(2)+5

  k=4-8+5

  k=1

Eje de simetría: es vertical y pasa por el vértice, por ello h adquiere el mismo valor de x( h=x ).

y su ecuación seria la misma: x=-b/2a.

El eje de simetría también puede ser encontrado por medio de la ecuación:

  

En la que se toman los valores del X1 y X2 como los valores del eje de simetría de x.

Puntos de corte (eje y): Como sabemos la primera coordenada es cero por lo tanto  el punto de corte entre las coordenadas se marca como (0,c).

Ejemplos:

 Se corta en el 3.

Se corta en el -2.

Por medio de esta forma se busca el discriminante el cual se encuentra por medio de la ecuación de: b2-4ac.

Este determina los raíces por el número de ceros cuando es < 0: no tiene raíces, cuando es > 0 :tiene dos raíces y cuando es =0 solo tiene una raíz.

Cero significa el número de cortes con el eje x.

Ejemplo:

f(x)=x2-10x+32  a=1,b=10,c=32

D=b2-4ac

D=(-10)2-4(1)(32)

D=100-128

D=-28

No tiene raíces, porque es < 0.