Sistema de ecuaciones:
Es el planteamiento de la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas.
Una forma de resolverlos  dichos sistemas, se da por medio de  las clásicas formas de reducción, sustitución , igualación  y eliminacion.
En este sistema   x , y son las incógnitas, estas tienen  infinitas soluciones.
Ejemplo
Ejemplo
Un oficinista compra 30 objetos entre lapices y bolígrafos con un coste de 1,240 pesos, si los lapices cuestan 25 pesos; y los bolígrafos 60 pesos ¿cuantos bolígrafos y cuantos lapices compro?
L = numero de lapices(x)
B = numero de bolígrafos(y)
30 objetos en total, es decir, el numero de lapices y de bolígrafos, sumados es lo mismo que escribir:
L + B = 30
la suma del precio total de lapices y bolígrafos es 1240 pesos, esto es;
25L + 60B = 1240
De nuevo, se tiene un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
L + B = 30
25L + 60B = 1240
multipliquemos la primera ecuación por (-25). La idea de esto es "reducir" o "eliminar" las "L":
-25L - 25B = -750
25 L + 60B = 1240
---------------------------------
35B = 490
Despejamos B:
B = 490 / 35
B = 14 (esto es el numero de bolígrafos)
Despejamos "L" para hallar el numero de lapices. Para ello usamos la primera ecuación;
L + B = 30
L = 30 - B
L = 30 - 14
L = 16 (esto es el numero de lapices)
Luego;
L = 16 lapices
B = 14 bolígrafos
Ejemplo:

Para entender con mayor claridad los intervalos.

Pensamiento Numerico:Intervalos, Operaciones y Inecuaciones.

Un intervalos es un conjunto de números reales comprendido entre dos valores.

Existen diferentes tipos de intervalos, entre ellos están los intervalos abiertos, cerrados y semi abiertos.

Los intervalos abiertos están formados por los números reales en los que a y b, son excluidos , se expresan por medio de .a<x<b.

Los intervalos son están conformados por os números reales en los que a y b están incluidos estos se expresan ´por medio de a£x£b.

Los intervalos semi abiertos se caracterizan por ser números reales , ambos están incluidos.

estos se expresan por medio de 

 a<x£b.

También se dan las operaciones entre intervalos estos se denominan mediante la Intersección(∩) y la Unión(∪).
Unión esta formado por todos los números (x) que pertenecen a los dos intervalos este se representa de extremo a extremo.


Intersección esta formado por la parte en la que se encuentran ambos intervalos.

Las Inecuaciones es un subconjunto de los números reales , en el que 

1. Si a < b entonces a+c < b+c
2. Si a<b entonces a-b  < b-c
3.Si  c>o y a<b entonces ac>bc
4.Si 0<a<b entonces 1         1
                               ----- > -----.
                              a        b


Se le cambia el signo cuando se multiplica o se divide en una cantidad negativa.

Un video para entender con mayor claridad.

Pensamiento Variacional: Funcion cuadratica.

Una función cuadrática es aquella que se puede escribir como f(x) = ax2 + bx + c, Forma General ,Forma Estandar: y= a(x-h)2+k

a, b, son números enteros , a no puede ser cero , b y c si pueden ser cero.

Se dice que es una ecuación completa cuando tiene un término cuadrático (ax2),un término lineal(bx) y un término independiente (c).

Forma General: y =ax2+bx+c.

Representación Grafica de una función cuadrática:

La parábola es la representación grafica de una función cuadrática.

Esta tiene ciertas características o elementos que pueden ser identificados en la gráfica como: las raíces, puntos de corte, eje de simetría , orientación, ramas de la parábola y el vértice.

La orientación: es  la que define si la parábola abre hacia arriba (parábola  cóncava: a es mayor a 0) o si abre hacia abajo (parábola convexa, a es menor que cero), el signo es definido por el termino cuadrático (ax2).

            Convexa(negativo), cóncava(positivo).

Puntos de corte (eje x):para calcular las raíces se necesita que el valor de x sea cero (f(x)= 0), esto significa que los valores x tales a los valore de y=0.

Vértice: Determina el punto máximo o mínimo dependiendo de la parábola. Esta se representa por medio de las coordenadas (h,k).

Ejemplo: y = x² - 4x + 5.

Para encontrar h se necesita la ecuacion de :

 h=-b/2a

 h=4/2

 h=2, x=2

:Y para encontrar k se reemplaza x en  la fórmula

 ejemplo: y= x2-4x+5,

  k= (2)2-4(2)+5

  k=4-8+5

  k=1

Eje de simetría: es vertical y pasa por el vértice, por ello h adquiere el mismo valor de x( h=x ).

y su ecuación seria la misma: x=-b/2a.

El eje de simetría también puede ser encontrado por medio de la ecuación:

  

En la que se toman los valores del X1 y X2 como los valores del eje de simetría de x.

Puntos de corte (eje y): Como sabemos la primera coordenada es cero por lo tanto  el punto de corte entre las coordenadas se marca como (0,c).

Ejemplos:

 Se corta en el 3.

Se corta en el -2.

Por medio de esta forma se busca el discriminante el cual se encuentra por medio de la ecuación de: b2-4ac.

Este determina los raíces por el número de ceros cuando es < 0: no tiene raíces, cuando es > 0 :tiene dos raíces y cuando es =0 solo tiene una raíz.

Cero significa el número de cortes con el eje x.

Ejemplo:

f(x)=x2-10x+32  a=1,b=10,c=32

D=b2-4ac

D=(-10)2-4(1)(32)

D=100-128

D=-28

No tiene raíces, porque es < 0.